Question

已知函数，，其中．

（1）若是函数的极值点，求实数的值；

（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，求实数的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】

试题分析：解：∵，其定义域为，

∴．                                    

∵是函数的极值点，∴，                

即．                                             

∵，∴．                                       

（2） 对任意的都有≥成立等价于对任意的

都有≥．                           

当［1，］时，．

∴函数在上是增函数．

∴．                                 

∵，且，．

①当且［1，］时，，

∴函数在［1，］上是增函数，

∴.                                 

由≥，得≥，

又，∴不合题意．

②当1≤≤时，

若1≤＜，则，

若＜≤，则．

∴函数在上是减函数，在上是增函数．

∴.

由≥，得≥，

又1≤≤，∴≤≤．                             

③当且［1，］时，，

∴函数在上是减函数．∴.

由≥，得≥，

又，∴．                                           

综上所述，的取值范围为．                            

考点：导数的应用

点评：导数常应用于求曲线的切线方程、求函数的最值与单调区间、证明不等式和解不等式中参数的取值范围等。