Question

已知函数f（x）=x²+ax的最小值不小于-1，且f（-

1

2

）≤-

3

4

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）函数f（x）在[m，m+1]的最小值为实数m的函数g（m），求函数g（m）的解析式．

Answer 1

分析：（1）先对其配方，根据其最小值不小于1以及f（-

1

2

）≤-

3

4

求出a；即可求函数f（x）的解析式；
（2）先求出其对称轴，再讨论对称轴和区间的三种位置关系，分别求出其最小值，最后综合即可求函数g（m）的解析式．

解答：解：（1）∵f（x）=x²+ax，
∴f（x）=（x+

a

2

）²-

a2

4

，
∴y_min=-

a2

4

≥-1⇒-2≤a≤2    ①；
又f（-

1

2

）=

1

4

-

a

2

≤-

3

4

⇒a≥2     ②；
由①②知a=2   
（2）f（x）=x²+2x函数图象的对称轴为x=-1
m+1≤-1时，即m≤-2时，y_min=f（m+1）=m²+4m+3                 （7分）
m≥-1时，y_min=f（m）=m²+2m                                   （8分）
m＜-1＜m+1时，即-2＜m＜-1时，
y_min=f（-1）=-1                   （10分）
综上g（m）=

m2+4m+3，   m≤-2 -1，      -2＜m＜-1 m2+2m，       m≥-1

．

点评：二次函数y=ax²+bx+c（a＞0），在定区间[m，n]上，[1]当m≥-

b

2a

时，对称轴在区间左侧，f （x）在[m，n]上递增，则f （x）的最大值为f （n），最小值为f （m）；[2]当n≤-

b

2a

时，对称轴在区间右侧，f （x） 在[m，n]上递减，，则f （x）的最大值为f （m），最小值为f（n）；[3]当-

b

2a

∈（m，n）时，则f（x）的最小值为f （-

b

2a

）；在[m，-

b

2a

]上函数f （x）递减，则f （x）的最大值为f （m），在[-

b

2a

，n]上函数f （x）递增，则f （x）的最大值为f （n），比较f （m）与f （n）的大小即得．