Question

已知奇函数f(x)=

a•2x+b

2x-1

的反函数f^-1（x）的图象过点A（-3，1）．
（1）求实数a，b的值；
（2）解关于x的不等式f^-1（x）＞-1．

Answer 1

分析：（1）设f（t）=a（t-20）²+60，由f（0）=0可知a=-

3

20

，由此能求出实数a，b的值．
（2）设销售利润为g（t）万元，则g(t)=

2t(- 3 20 t2+6t)  (0＜t＜30) 60(- 3 20 t2+6t)  (30≤t≤40)

，由分类讨论并由导数的性质能够求出关于x的不等式f^-1（x）＞-1的解．

解答：解：（1）设f（t）=a（t-20）²+60，
由f（0）=0，
可知a=-

3

20

即f(t)=-

3

20

(t-20)2+60=-

3

20

t2+6t（0＜t≤40，t∈N）
（2）设销售利润为g（t）万元，
则g(t)=

2t(- 3 20 t2+6t)  (0＜t＜30) 60(- 3 20 t2+6t)  (30≤t≤40)

当30≤t≤40时，g（t）单调递减；
当0＜t≤30时，g′(t)=-

9

10

t2+24t，
易知g（t）在(0，

80

3

)单调递增，在(

80

3

，30)单调递减
而t∈N，故比较g（26），g（27），
经计算，g（26）=2839.2＜g（27）=2843.1，
故第一批产品A上市后的第27天这家公司日销售利润最大，
最大利润是2843.1万元．

点评：本题考查实数a，b的求法和关于x的不等式f^-1（x）＞-1．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．