Question

已知函数f（x）=x（1+x）²
（1）求函数f（x）的单调区间与极值；
（2）设g（x）=ax²，若对于任意x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数的定义域为R，求出函数的导数是一个二次函数，再讨论此二次函数的正负，在函数的定义域内解不等式
fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数的单调区间，从而得出函数的极值；
（2）变形为两个函数的差f（x）-g（x）≥0在x＞0时恒成立，再根据x∈（0，+∞）为正数，所以x²+（2-a）x+1≥0恒成立即为a-2≤

1

x

+x恒成立，利用基本不等式，可得a-2≤2，得a≤4．

解答：解：因为f（x）=x³+2x²+x
所以函数的导数f′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1）
令f′（x）=0，解得x₁=-1，x2=-

1

3

因为当x＜-1或x＞-

1

3

时，f′（x）＞0；当-1＜X＜

1

3

时f′（x）＜0
所以的单调增区间是（-∞，-1）和（-

1

3

，+∞）
的单调减区间是(-1，-

1

3

)
所以f（-1）=0是f（x）的极大值，f(-

1

3

)=-

4

27

是f（x）的极小值
（Ⅱ）f（x）-g（x）=x³+2x²+x-ax²=x[x²+（2-a）x+1]
由已知x[x²+（2-a）x+1]≥0（x＞0）恒成立，
因为x∈（0，+∞），所以x²+（2-a）x+1≥0恒成立，
即a-2≤

1

x

+x恒成立．
因为x＞0，所以

1

x

+x≥2，（当且仅当x=1时取“=”号），
所以

1

x

+x的最小值为2．由a-2≤2，得a≤4，
所以f（x）≥g（x）恒成立时，实数a的取值范围是（-∞，4]

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，求函数的极值与最值，属于中档题．导数与不等式相结合是考试常见考点，也是教学中的重点和难点，学生应熟练掌握．
（1）利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，
（2）将恒成立问题转化为作差所函数恒正的问题，再根据正数的特征，将不等式变形为运用基本不等式的形式，加以求解，这是典型的转化化归思想．