Question

如图，简单组合体底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC．
（1）求证：BE∥平面PDA；
（2）若AD=2，PD=

2

，求平面PBE与平面ABCD夹角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）把问题转化为证明平面EBC∥平面PAD即可得到结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面法向量的坐标，再代入向量的夹角计算公式即可得到结论．

解答：解：（1）∵EC∥PD，PD在平面PAD内，EC不在平面PAD内，
∴EC∥平面PAD，同理可得BC∥平面PAD，…（2分）
∵EC在平面EBC内，BC在平面EBC内
且EC∩BC=C
∴平面EBC∥平面PAD，
又∵BE在平面EBC内，…（4分）
∴BE∥平面PDA…（6分）
另解：建系，利用向量，参照给分．
（2）以点D为坐标原点，以DA、DC、DP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），P（0，0，

2

），E（0，2，

2

2

）．
知

PE

=(0，2，-

2

2

)，

BE

=(-2，0，

2

2

)…（8分）
设平面PBE的法向量为

n1

=（x，y，z）
∵

n1

⊥

PE

，

n1

⊥

BE

∴

n1 ⊥ PE =(x，y，z)(0，2，- 2 2 )=0 n1 ⊥ BE =(x，y，z)(-2，0， 2 2 )=0.

⇒

2y- 2 2 z=0 -2x+ 2 2 z=0

取

n1

=(1，1，2

2

)…（10分）
又

n2

=（0，0，1）⊥平面ABCD
故所求夹角的余弦值为cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

2 5

5

．…（12分）

点评：本题主要考察用空间向量求平面间的夹角以及直线与平面平行的判定．用空间向量求平面间的夹角的关键在于建立适当的坐标系，准确求出两个平面的法向量．