Question

已知a₁=2,点(a_n,a_n+1)在函数f(x)=x²+2x的图象上,其中n=1,2,3,….

(1)证明数列{lg(1+a_n)}是等比数列;

(2)设T_n=(1+a₁)(1+a₂)…(1+a_n),求T_n及数列{a_n}的通项;

(3)记b_n=+,求数列{b_n}的前n项和S_n,并证明S_n+=1.

Answer 1

(1)证明:由已知a_n+1=a_n²+2a_n,∴a_n+1+1=(a_n+1)².

∵a₁=2,∴a_n+1＞1,两边取对数得lg(1+a_n+1)=2lg(1+a_n),即=2.∴{lg(1+a_n)}是公比为2的等比数列.

(2)解：由(1)知lg(1+a_n)=2^n-1·lg(1+a₁)=2^n-1·lg3=lg3^2n-1.∴1+a_n=3^2n-1.                     (*)

∴T_n=(1+a₁)(1+a₂)…(1+a_n)=·…·=,由（*）式得a_n=3^2n-1-1.

（3）解：∵a_n+1=a_n²+2a_n,∴a_n+1=a_n(a_n+2).∴.

∴.

又b_n=+,

∴b_n=2().

∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=2（）=2().

∵a_n=3^2n-1-1,a₁=2,a_n+1=3^2n-1,∴S_n=1-.又T_n=3^2n-1,∴S_n+=1.