Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bc+c（a，b，c∈R），若函数f（x）在区间[-1，0]上是单调减函数，则a²+b²的最小值为（　　）

• A．

  4

  5

• B．

  7

  5

• C．

  9

  5

• D．

  11

  5

Answer 1

分析：根据函数在区间[-1，0]上是单调递减，可得f′（x）≤0在[-1，0]上恒成立，结合二次函数的图象与性质，得到f′（-1）≤0且f′（0）≤0，由此得到关于a、b的不等式组，在aob坐标系中，a²+b²可视为平面区域内的点到原点的距离的平方，结合点到直线的距离公式即求出a²+b²的最小值．

解答：解：依题意，可得f′（x）=3x²+2ax+b≤0在区间[-1，0]上恒成立．
∵y=f′（x）的图象是开口向上的抛物线
∴只需

f′(-1)≤0  f′(0)≤0

即可，即

3-2a+b≤0  b≤0

，
而a²+b²可视为平面区域

3-2a+b≤0  b≤0

内的点到原点的距离的平方，
由点到直线的距离公式，可得（d²）=（

3

5

）²=

9

5

，
∴a²+b²的最小值为

9

5

．
故选：C

点评：本题给出导数问题，求a²+b²的最小值．着重考查利用导数研究函数的单调性的能力，考查了二元一次不等式组表示的平面区域和点到直线的距离公式等知识，属于中档题．