Question

已知函数f（x）=m•2^x+t的图象经过点A（1，1），B（2，3），及C（n，S_n），S_n为数列{a_n}的前n项的和，n∈N^*
（1）求S_n及a_n
（2）设b_n=log₂a_n-1，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：

1

T4

+

1

T5

+…+

1

Tn

＜

11

9

(n≥4，n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）由2m+t=1得t=-1，4m+t=3m=1，所以f（x）=2^x-1，S_n=2ⁿ-1n∈N^*，所以a_n=2^n-1（n∈N^*）．
（2）因为b_n=log₂a_n-1=n-2，所以Tn=

(n-2-1)n

2

=

n(n-3)

2

，所以，

1

Tn

=

2

n(n-3)

=

2

3

(

1

n-3

-

1

n

)，由此能够证明

1

T4

+

1

T5

+…+

1

Tn

＜

11

9

(n≥4，n∈N*)．

解答：解：（1）由2m+t=1得t=-1
4m+t=3m=1（2分）
所以f（x）=2^x-1则S_n=2ⁿ-1n∈N^*（4分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1
当n=1时，a₁=S₁=1满足上式，所以a_n=2^n-1（n∈N^*）（6分）
（2）证明：因为b_n=log₂a_n-1=n-2
所以Tn=

(n-2-1)n

2

=

n(n-3)

2

（8分）
所以，当n≥4时，

1

Tn

=

2

n(n-3)

=

2

3

(

1

n-3

-

1

n

)（10分）
所以

1

T4

+

1

T5

++

1

Tn

=

2

3

(1-

1

4

)+

2

3

(

1

2

-

1

5

)+

2

3

(

1

3

-

1

6

)+
+

2

3

(

1

n-3

-

1

n

)=

2

3

(1+

1

2

+

1

3

-

1

n-2

-

1

n-1

-

1

n

)＜

11

9

（13分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．