Question

7．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆过圆x²+y²-8x+11=0的圆心，且斜率为$\frac{1}{2}$的直线m经过椭圆的左焦点F₁与圆相切，求椭圆的标准方程．

Answer 1

分析 利用斜率为$\frac{1}{2}$的直线m经过椭圆的左焦点F₁与圆相切，求出c，利用椭圆过圆x²+y²-8x+11=0的圆心，求出A，可得b，即可求椭圆的标准方程．

解答 解：圆x²+y²-8x+11=0，可化为圆（x-4）²+y²=5．
斜率为$\frac{1}{2}$的直线m经过椭圆的左焦点F₁，方程为y=$\frac{1}{2}$（x+c），
∵斜率为$\frac{1}{2}$的直线m经过椭圆的左焦点F₁与圆相切，
∴$\frac{|4-c|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$，∴c=1，
设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
∵椭圆过圆x²+y²-8x+11=0的圆心，
∴a=4，∴b=$\sqrt{15}$，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{15}$=1．

点评 本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，确定椭圆的几何量是关键．