Question

已知斜率为1的直线l与双曲线C：交于B，D两点，BD的中点为M（1，3）．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右焦点为F，|DF|•|BF|≤17，求b²-a²取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）写出直线l的方程，和双曲线方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到两个交点B，D的横坐标的和，结合BD的中点为M（1，3）列式求得C的离心率；
（Ⅱ）化简双曲线的方程，进一步把B，D两点的横坐标的和与积用仅含a的代数式表示，用两点间的距离公式写出|BF|和|DF|，代入|DF|•|BF|≤17，然后把根与系数的关系代入得到含有a的不等式，求解不等式得到a的取值范围，则b²-a²取值范围可求．
解答：解：（I）由题知，l的方程为：y=x+2．
代入C的方程，并化简，得（b²-a²）x²-4a²x-4a²-a²b²=0．
设B（x₁，y₁）、D（x₂，y₂）则   ①
由M（1，3）为BD的中点知，故，
即b²=3a²  ②
故，所以C的离心率；
（II）由①、②知C的方程为：3x²-y²=3a²．
F（2a，0），．
故不妨设x₁≤-a，x₂≥a
，
|FD|=，
|BF|•|DF|=（a-2x₁）（2x₂-a）=
=．
又|BF|•|DF|≤17，故5a²+4a+8≤17，
解得，故0＜a≤1．
由e=2，得b²=3a²，故b²-a²=2a²∈（0，2]．
点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的关系问题是高考的重点，常以压轴题的形式出现，往往采用“设而不求”的解题方法，解答的关键是正确利用方程的根与系数的关系，有时运算量较大，要求学生有较强的计算能力，是难题．