题目内容

(2012•宿州一模)已知斜率为1的直线l与双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
相交于B、D两点,且BD的中点为M(1,3).
(1)求双曲线C的离心率;
(2)若双曲线C的右焦点坐标为(3,0),则以双曲线的焦点为焦点,过直线g:x-y+9=0上一点M作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,点M应在何处?并求出此时的椭圆方程.
分析:(Ⅰ)由题设知:l的方程为y=x+2,代入双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
,得:(b2-a2)x2-4a2x-4a2-a2b2=0,设B(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=
4a2
b2-a2
x1x2=-
4a2+a2b2
b2-a2
,由M(1,3)为BD的中点,知
4a2
b2-a2
=2
,由此能求出双曲线C的离心率.
(Ⅱ)双曲线的左、右焦点为F1(-3,0),F2(3,0),点F1关于直线g:x-y+9=0的对称点F的坐标为(-9,6),直线FF2的方程为x+2y-3=0,故交点M(-5,4).由此能求出椭圆的方程.
解答:(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由题设知:l的方程为y=x+2,代入双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
,并化简得:
(b2-a2)x2-4a2x-4a2-a2b2=0,(*)…(2分)
设B(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=
4a2
b2-a2
x1x2=-
4a2+a2b2
b2-a2
,…(4分)
由M(1,3)为BD的中点,知
x1+x2
2
=1
,故
4a2
b2-a2
=2

即b2=3a2.故c=2a,∴e=2.…(6分)
(Ⅱ)双曲线的左、右焦点为F1(-3,0),F2(3,0),点F1关于直线g:x-y+9=0①
的对称点F的坐标为(-9,6),直线FF2的方程为x+2y-3=0,②…(8分)
解方程组①②得:交点M(-5,4),…(9分)
此时|MF1|+|MF2|最小,所求椭圆的长轴2a=|MF1| +|MF2| =|FF2| =6
5

∴a=3
5
,…(11分)
∵c=3,∴b2=36,故所求椭圆的方程为
x2
45
+
y2
36
=1
.…(12分)
点评:本题考查双曲线的离心率的求法,考查椭圆方程的求法,具有一定的探索性.解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
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