Question

已知函数f（x）=x²+ax-（a+2）lnx-2
（1）当a=1时，求证：当x≥1时，f（x）≥0．
（2）若a＜-2，探求f（x）的单调区间．
（3）求证：

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

lnn

＞

11

6

-（

1

n

+

1

n+1

+

1

n+2

）（n≥4，n∈N^*）

Answer 1

分析：（1）求导函数，确定f（x）在[1，+∞）为增函数，即可证得结论；
（2）求导函数，分类讨论，可得函数的单调区间；
（2）先证明

1

lnx

＞

1

x-1

-

1

x+2

，再x分别取2，3，…，n，叠加即可得到结论．

解答：（1）证明：∵a=1，x≥1时，f′(x)=

(2x+3)(x-1)

x

≥0，
∴f（x）在[1，+∞）为增函数，
∴f（x）≥f（1）=0；
（2）解：f′(x)=

(2x+a+2)(x-1)

x

(x＞0)
∴a∈（-4，-2）时，函数的单调增区间为(0，-

a+2

2

)，(1，+∞)，单调减区间为(-

a+2

2

，1)；
a=-4，函数的单调增区间为（0+∞）；
a＜-4时，函数的单调增区间为（0，1），(-

a+2

2

，+∞)，单调减区间为(1，-

a+2

2

)；
（3）证明：由（1）得：当x＞1时，x²+x-2＜3lnx，
∴

(x-1)(x+2)

3

＞lnx
∴

1

lnx

＞

1

x-1

-

1

x+2

∴

1

ln2

＞

1

2-1

-

1

2+2

，

1

ln3

＞

1

3-1

-

1

3+2

，

1

ln4

＞

1

4-1

-

1

4+2

，…，

1

lnn

＞

1

n-1

-

1

n+2

∴

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

lnn

＞（1+

1

2

+

1

3

）-（

1

n

+

1

n+1

+

1

n+2

）=（

11

6

-（

1

n

+

1

n+1

+

1

n+2

）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．