Question

如图，在直三棱柱ABC―A₁B₁C_l中，∠ACB=90°，CB=1，CA=，AA₁=，M是侧棱CC₁上一点，AM⊥BA₁．

(1)求证：AM⊥平面A₁BC；

(2)求二面角B―AM―C的大小；

(3)求点C到平面ABM的距离．

Answer 1

解：(1)在三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，易知平面ACC₁A₁⊥平面ABC，因为∠ACB=90°，

且AM平面ACC₁A₁，所以BC⊥AM，因为AM⊥BA₁，且BC∩BA₁=B，

所以AM⊥平面A₁BC．

(2)设AM与A₁C的交点为O，连接BO，如图所示．由(1)AM⊥OB，且AM⊥OC，

所以∠BOC为二面角B―AM―C的平面角，

    在Rt△ACM和Rt△A_lAC中，

    ∠MAC+∠ACO=90°，∠AA_lC+∠ACO=90°，

    ∴∠AA_lC=∠MAC，

    所以Rt△ACM∽Rt△A_lAC，

    所以AC²=MC?AA_l，所以MC=，

    所以在Rt△ACM中，AM=，

    因为AC?MC=AM?CO，所以CO=1，

    所以在Rt△BCO中，tan∠BOC=1，

    所以∠BOC=45°，故所求二面角的大小为45°．

    (3)设点C到平面ABM的距离为h，易知BO=，

    可知S_△ABM=AM?BO=，

因为V_C―ABM=V_M―ABC，所以S_△ABM=MC?S_△ABC，

所以点C到平面ABM的距离为．(也可以建立空间直角坐标系来解决)