Question

4．P到$（0，\sqrt{3}），（0，-\sqrt{3}）$距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与C交于AB
（Ⅰ）求C的方程        
（Ⅱ）若$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，求k．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知其轨迹为椭圆；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立化为（k²+4）x²+2kx-3=0．由$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，可得x₁x₂+y₁y₂=0．把根与系数的关系代入即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以$（0，-\sqrt{3}），（0，\sqrt{3}）$为焦点，长半轴为2的椭圆．
它的短半轴$b=\sqrt{{2^2}-{{（\sqrt{3}）}^2}}=1$，
故曲线C的方程为${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=kx+1.\end{array}\right.$
消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，
故${x_1}+{x_2}=-\frac{2k}{{{k^2}+4}}，{x_1}{x_2}=-\frac{3}{{{k^2}+4}}$
若$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，即x₁x₂+y₁y₂=0．
而${y_1}{y_2}={k^2}{x_1}{x_2}+k（{x_1}+{x_2}）+1$，
于是${x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=-\frac{3}{{{k^2}+4}}-\frac{{3{k^2}}}{{{k^2}+4}}-\frac{{2{k^2}}}{{{k^2}+4}}+1=0$，化简得-4k²+1=0，
解得$k=±\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆相交问题、一元二次的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．