Question

已知函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx，（a∈R）
（1）求函数的单调区间与极值点；
（2）若a=4，方程f（x）-m=0有三个不同的根，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对已知函数进行求导，令导数等于0，求出极值点，讨论极值点的大小，利用导数研究函数的单调区间与极值点；
（2）把a=4代入f（x），根据方程f（x）-m=0有三个不同的根，即f（x）=m，有三个解，说明m处在f（x）的最大值和最小值之间，从而进行求解；

解答：解：（1）f′（x）=2x+

a

x

-（a+2）=

(x-1)(2x-a)

x

，
令f′（x）=0得x=1或

a

2

，
当

a

2

≤0即a≤0时，x∈（0，1），递增区间为（1，+∞）；
极小值点为1，无极大值点，
当0＜

a

2

＜1即0＜a＜2时，x∈（0，

a

2

）时，f′（x）＞0；
x∈（

a

2

，1）时，f′（x）＜0；
x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；
∴f（x）的减区间为：（

a

2

，1），递增区间为（0，

a

2

）和（1，+∞）；极小值点为1，极大值点为

a

2

；
当

a

2

＞1即a＞2时，x∈（0，1）时，f′（x）＞0；
x∈（1，

a

2

）时，f′（x）＜0；
x∈（

a

2

，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的递减区间为（1，

a

2

），递增区间（0，1）和（

a

2

，+∞）；极小值点

a

2

，极大值点为1；
当

a

2

=1时，即a=2时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增，无减区间，无极值点．
（2）当a=4时，f（x）-m=0即f（x）=m，
由（1）可知，x∈（0，1）时，f（x）递增，x∈（1，2）时，f（x）递减，
x∈（2，+∞）时，f（x）递增；
极大值f（1）=-5，极小值f（2）=4ln2-8，
要使f（x）-m=0有三个不同的根，则4ln2-8＜m＜-5；

点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性，第一问思路简单，但是讨论情况多比较复杂，第二问就比较简单了，利用数形结合的方法也很容易解决，是一道中档题；