Question

已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率为且过点(4，).

(1)求双曲线的标准方程；

(2)直线x=3与双曲线交于M、N两点，求证：F₁M⊥F₂M.

Answer 1

思路分析：本题主要考查双曲线性质的应用.通过双曲线的离心率及其上面的一点求双曲线的标准方程是我们要掌握的一种常见技巧.

(1)解：由双曲线的离心率为，即，则,∴a=b，即双曲线为等轴双曲线.

设其方程为x²-y²=λ(λ≠0).由于双曲线过点(4，)，则4²-()²=λ.∴λ=6.

∴双曲线方程为=1.

(2)证明：由(1)可得F₁、F₂的坐标分别为(，0)、(，0)，

M、N的坐标分别为(3，)、(3，).

∴=，=.

故·=·=-1.∴F₁M⊥F₂M.

    方法归纳 给定离心率的双曲线问题应先研究a、b的关系，简化设方程的字母个数.λ≠0时，方程x²-y²=λ，既可表示焦点在x轴上也可表示焦点在y轴上的双曲线.