Question

在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB=4，AD=3，AA′=5，∠BAD=90°，∠BAA′=∠DAA′=60°，则对角线AC′的长度为（　　）

• A．6
• B．

  65

• C．8
• D．

  85

Answer 1

分析：由题意画出几何体的图形，连接AC，根据cos∠A'AB=cos∠A'AC•cos∠CAB求出∠A'AC，根据互补性可知∠C'CA的大小，最后根据余弦定理得求出AC′即可．

解答：解：由题意几何体的图形如图，连接AC，
∵AB=4，AD=3，∠BAD=90°
∴AC=5，因为∠BAD=90°，∠BAA′=∠DAA′=60°，
根据cos∠A′AB=cos∠A′AC•cos∠CAB
即

1

2

=cos∠A′AC•

2

2

∴∠A′AC=45°则∠C′CA=135°
而AC=5，AA′=5，
根据余弦定理得AC′=

AC2+CC′2-2AC•CC′cos135°

=

85

故选D．

点评：本题主要考查了体对角线的求解，三面角公式、余弦定理的应用，同时考查了空间想象能力，计算推理的能力，属于中档题．