Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别在BB₁，DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D．
（1）求证：A₁C⊥平面AEF；
（2）若AB=3，AD=4，AA₁=5，M是B₁C₁的中点，求AM与平面AEF所成角的大小；
（3）在（2）的条件下，求三棱锥D-AEF的体积．

Answer 1

分析：（1）证明A₁C⊥AE，A₁C⊥AF，利用线面垂直的判定，即可证得A₁C⊥面AEF；
（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示

A1C

，

AM

，利用向量的夹角公式，即可求得AM与平面AEF所成的角；
（3）先计算DF，再利用等体积转化，即可求得三棱锥D-AEF的体积．

解答：（1）证明：∵BC⊥面A₁B，∴A₁C在面A₁B上的射影为A₁B
∵A₁B⊥AE，AE?面A₁B，∴A₁C⊥AE，
同理A₁C⊥AF，
∵AE∩AF=A，
∴A₁C⊥面AEF．
（2）解：以C为原点，射线CD、CB、CC₁分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A（3，4，0），A₁（3，4，5），M（0，2，5）．
∴

A1C

=（-3，-4，-5），

AM

=（-3，-2，5）
设

A1C

与

AM

的夹角为θ，则cosθ=

A1C • AM

| A1C || AM |

=-

4 19

95

∴AM与平面AEF所成的角大小为arcsin

4 19

95

．
（3）解：∵AF⊥A₁D，∴△A₁AD∽△ADF，∴

A1A

AD

=

AD

DF

，∴DF=

AD2

A1A

=

16

5

∴VD-AEF=VE-ADF=

1

3

×

1

2

×AD×DF×AB=

1

3

×

1

2

×4×

16

5

×3=

32

5

．

点评：本题考查线面垂直，考查线面，考查三棱锥的体积，掌握线面垂直的判定，正确运用向量法求线面角是关键．