题目内容
若f(x+π)=f(-x),且f(-x)=f(x),则f(x)可以是
A.sinx
B.cosx
C.sin|x|
D.|sinx|
对任意的实数a,b,记max{a,b}=若F(x)=max{f(x),g(x)}(x∈R),其中奇函数y=f(x)在x=1时有极小值-2,y=g(x)是正比例函数,函数y=f(x)(x≥0)与函数y=g(x)的图象如图所示则下列关于函数y=F(x)的说法中,正确的是
A.y=F(x)为奇函数
B.y=F(x)有极大值F(1)且有极小值F(-1)
C.y=F(x)的最小值为-2且最大值为2
D.y=F(x)在(-3,0)上不是单调函数
对任意的实数a,b,记max{a,b}=若F(x)=max{f(x),g(x)}(x∈R),其中奇函数y=f(x)在x=1时有极小值-2,y=g(x)是正比例函数,函数y=f(x)(x>0)与函数y=g(x)的图象如图所示,则下列关于函数y=F(x)的说法中,正确的是
A.y=F(x)为奇函数
B.y=F(x)有极大值F(1)
且有极小值F(-1)
C.y=F(x)的最小值为-2且最大值为2
D.y=F(x)在(-3,0)上不是单调函数
函数f(x)的定义域为D,若对于任意的x1、x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)≤f(x2),则称函数f(x)在D上为非减函数.设函数f(x)在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个条件:①f(0)=0;②f=f(x);③f(1-x)=1-f(x).则f+f等于( )
A. B. C.1 D.
已知函数f(x)=cos(2x+)+-+sinx·cosx
⑴ 求函数f(x)的单调减区间; ⑵ 若xÎ[0,],求f(x)的最值;
⑶ 若f(a)=,2a是第一象限角,求sin2a的值.
【解析】第一问中,利用f(x)=cos2x-sin2x-cos2x+sin2x=sin2x-cos2x=sin(2x-)令+2kp≤2x-≤+2kp,
解得+kp≤x≤+kp
第二问中,∵xÎ[0, ],∴2x-Î[-,],
∴当2x-=-,即x=0时,f(x)min=-,
当2x-=, 即x=时,f(x)max=1
第三问中,(a)=sin(2a-)=,2a是第一象限角,即2kp<2a<+2kp
∴ 2kp-<2a-<+2kp,∴ cos(2a-)=
利用构造角得到sin2a=sin[(2a-)+]
解:⑴ f(x)=cos2x-sin2x-cos2x+sin2x ………2分
=sin2x-cos2x=sin(2x-) ……………………3分
⑴ 令+2kp≤2x-≤+2kp,
解得+kp≤x≤+kp ……………………5分
∴ f(x)的减区间是[+kp,+kp](kÎZ) ……………………6分
⑵ ∵xÎ[0, ],∴2x-Î[-,], ……………………7分
∴当2x-=-,即x=0时,f(x)min=-, ……………………8分
当2x-=, 即x=时,f(x)max=1 ……………………9分
⑶ f(a)=sin(2a-)=,2a是第一象限角,即2kp<2a<+2kp
∴ 2kp-<2a-<+2kp,∴ cos(2a-)=, ……………………11分
∴ sin2a=sin[(2a-)+]
=sin(2a-)·cos+cos(2a-)·sin ………12分
=×+×=
已知函数f(x)=alnx-x2+1.
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为4x-y+b=0,求实数a和b的值;
(2)若a<0,且对任意x1、x2∈(0,+∞),都|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|,求a的取值范围.
【解析】第一问中利用f′(x)=-2x(x>0),f′(1)=a-2,又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=(a-2)(x-1),即(a-2)x-y+2-a=0,
由已知得a-2=4,2-a=b,所以a=6,b=-4.
第二问中,利用当a<0时,f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上是减函数,
不妨设0<x1≤x2,则|f(x1)-f(x2)|=f(x1)-f(x2),|x1-x2|=x2-x1,
∴|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|等价于f(x1)-f(x2)≥x2-x1,
即f(x1)+x1≥f(x2)+x2,结合构造函数和导数的知识来解得。
(1)f′(x)=-2x(x>0),f′(1)=a-2,又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=(a-2)(x-1),即(a-2)x-y+2-a=0,
(2)当a<0时,f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上是减函数,
∴|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|等价于f(x1)-f(x2)≥x2-x1,即f(x1)+x1≥f(x2)+x2,
令g(x)=f(x)+x=alnx-x2+x+1,g(x)在(0,+∞)上是减函数,
∵g′(x)=-2x+1=(x>0),
∴-2x2+x+a≤0在x>0时恒成立,
∴1+8a≤0,a≤-,又a<0,
∴a的取值范围是