Question

函数f（x）是由向量集到的映射f确定，且f（x）=x-2，若存在非零常向量使f[f（x）]=f（x）恒成立．
（1）求||；
（2）设=，（1，-2），若点P分的比为-，求点P所在曲线的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用复合函数的性质和向量的数量积运算即可得出；
（2）利用向量的运算和相等即可得出．
解答：解：（1）f[f （x）]=f （x）-2[f （x）•]•（为向量）
=x-2（x•）•-2{[x-2（x•）•]•}•
=x-2（x•）-2[x•-2（x•）]=x-2（x•）
∴[x•-2（x•）]=0，∵．
∴x•-2（x•）=0，∴x•（1-2）=0恒成立
∴1-2=0，∴，∴．
（2）设B（x′，y′），∴=（x′-1，y′+2），
∴（x′-1）²+（y′+2）²=，
设P（x，y） 由，∴（x-1，y+2）=-（x′-x，y′-y）
∴，解得，
∴（-2x+3-1）²+（-2y-6+2）²=
∴（x-1）²+（y+2）²=，即为P点所在曲线的方程．
点评：熟练掌握复合函数的性质和向量的数量积运算、向量的运算和相等是解题的关键．