题目内容

已知椭圆C： $数学公式$ （a＞b＞0）的离心率为 $数学公式$ ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+ $数学公式$ =0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足 $数学公式$ （O为坐标原点），求实数t的取值范围．

解：（1）∵以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+ $\text{[math]}$ =0相切
∴ $\text{[math]}$ ，∴b=1
∵椭圆C： $\text{[math]}$ （a＞b＞0）的离心率为 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
∴a²=2
∴椭圆C的方程为： $\text{[math]}$ …（4分）
（2）由题意知直线AB的斜率存在．
设AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
代入椭圆方程，消元可得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．
∴△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，∴ $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$
∴x= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，y= $\text{[math]}$ （8分）
∵点P在椭圆上，∴ $\text{[math]}$ ，
∴16k²=t²（1+2k²）…（10分）
∴ $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，∴t²∈（0，4）
∴t∈（-2，0）∪（0，2）…（12分）
分析：（1）利用直线与圆相切的充要条件列出方程求出b的值，利用椭圆的离心率公式得到a，c的关系，再利用椭圆本身三个参数的关系求出a，c的值，将a，b的值代入椭圆的方程即可；
（2）设AB的方程代入椭圆方程，消元可得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，利用 $\text{[math]}$ 确定A，B，P三点之间的关系，利用点P在椭圆上，建立方程，从而可求实数t的取值范围．
点评：本题重点考查圆锥曲线的方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题的关键是利用待定系数法求圆锥曲线的方程．

练习册系列答案

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（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），离心率为

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知一直线l过椭圆C的右焦点F₂，交椭圆于点A、B．
（ⅰ）若满足

（O为坐标原点），求△AOB的面积；
（ⅱ）当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角？若存在，求出P坐标；若不存在，请说明理由．

（13分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（﹣1，0），F₂（1，0），且椭圆C经过点．

（I）求椭圆C的离心率：

（II）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．

（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的一个顶点为A（2,0），离心率为，直线y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M、N.

①求椭圆C的方程.

②当⊿AMN的面积为时，求k的值.

已知椭圆C：+=1(a＞b＞0)，直线y=x+与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F₁，F₂为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F₁PF₂的重心为G，内心为I，且IG∥F₁F₂。⑴求椭圆C的方程。⑵若直线L：y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同两点A，B且线段AB的垂直平分线过定点C(，0)求实数k的取值范围。

已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与椭圆C相交于A、B两点，若。则（）

（A）1 （B）2 （C）（D）

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