Question

设f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=lg（x²-ax+10），a∈R．
（1）若f（1）=lg5，求f（x）的解析式；
（2）若a=0，不等式f（k•2^x）+f（4^x+k+1）＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若f（x）的值域为R，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=lg5，求得a=6．求得当x＜0时f（x）的解析式，再由f（0）=0，可得f（x）在R上的解析式．
（2）若a=0，则由f（x）为奇函数可得它在R上单调递增，不等式等价于k•2^x+4^x+k+1＞0．令t=2^x（t＞0），可得t²+kt+k+1＞0在（0，+∞）恒成立，分离参数k，利用基本不等式求得k的范围．
（3）首先需满足x²-ax+10＞0在（0，+∞）上恒成立，于是根据a＜x+

10

x

求得a的范围．其次，需要x²-ax+10
=0在（0，+∞）上有解，再根据a=x+

9

x

，利用基本不等式求得a的范围．再把以上两个a的范围取交集，即得所求．

解答：解：（1）∵f（1）=lg5，∴f（1）=lg（11-a）=lg5，所以a=6．
此时，当x＜0时，-x＞0，f（x）=-f（-x）=-lg（x²+6x+10），又f（0）=0，
故f(x)=

lg(x2-6x+10)，x＞0 0，x=0 -lg(x2+6x+10)，x＜0.

．
（2）若a=0，则由f（x）为奇函数可得它在R上单调递增，
故f（k•2^x）+f（4^x+k+1）＞0，等价于k•2^x+4^x+k+1＞0．
令t=2^x（t＞0），于是，t²+kt+k+1＞0在（0，+∞）恒成立，
即k＞-

t2+1

t+1

=-

(t+1)2-2(t+1)+2

t+1

=-[(t+1)+

2

t+1

]-2
因为-[(t+1)+

2

t+1

]-2的最大值为-2

2

+2，所以k＞-2

2

+2．
（3）要使f（x）有意义，首先需满足x²-ax+10＞0在（0，+∞）上恒成立，即a＜x+

10

x

．
再利用基本不等式求得 x+

10

x

≥2

10

，当且仅当x=

10

x

时，取等号，∴a＜2

10

．
其次，要使f（x）的值域为R，需要x²-ax+10=1能取遍所有的正数，故x²-ax+10=0在（0，+∞）上有解，
可是a=x+

9

x

≥6，当且仅当x=3时，等号成立．
综上可得，6≤a＜2

10

．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．