Question

设f（x）是R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线x=

1

2

对称，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=

0

．

Answer 1

分析：由函数是定义在实数上的奇函数，所以有f（0）=0，再由y=f（x）的图象关于直线x=

1

2

对称，
得：f(

1

2

+x)=f(

1

2

-x)，把x替换后可求f（1）的值，且能够求出函数f（x）的周期，利用周期性求当x取2，3，4，5时的函数值．

解答：解：由y=f（x）的图象关于直线x=

1

2

对称，得：f(

1

2

+x)=f(

1

2

-x)    ①，
取x=

1

2

，得：f（1）=f（0），因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0，则f（1）=0，
再取x=

1

2

+x，代入①得：f（1+x）=f（-x）=-f（x），所以f（2+x）=-f（1+x）=-[-f（x）]=f（x），
所以F（2）=f（0）=0，f（3）=f（1）=0，f（4）=f（0）=0，f（5）=f（1）=0，
所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0．
故答案为0．

点评：本题考查了函数奇偶性的性质，考查了函数的对称性和周期性，由对称性得到f(

1

2

+x)=f(

1

2

-x) 后，灵活对x取值是解答此题的关键，此题是中档题．