Question

如图，三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．

（Ⅰ）证明：A₁O⊥平面ABC；

（Ⅱ）求直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值；

（Ⅲ）在BC₁上是否存在一点E，使得OE∥平面A₁AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．

Answer 1

考点：

直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．

专题：

计算题；证明题．

分析：

（1）由题意可知：平面AA₁C₁C⊥平面ABC，根据平面与平面垂直的性质定理可以得到，只要证明A₁O⊥AC就行了．

（2）此小题由于直线A₁C与平面A₁AB所成角不易作出，再由第（1）问的结论可以联想到借助于空间直角坐标系，设定参数，转化成法向量n与所成的角去解决

（3）有了第（2）问的空间直角坐标系的建立，此题解决就方便多了，欲证OE∥平面A₁AB，可以转化成证明OE与法向量n垂直

解答：

解：（Ⅰ）证明：因为A₁A=A₁C，且O为AC的中点，

所以A₁O⊥AC．（1分）

又由题意可知，平面AA₁C₁C⊥平面ABC，

交线为AC，且A₁O⊂平面AA₁C₁C，

所以A₁O⊥平面ABC．（4分）

（Ⅱ）如图，以O为原点，OB，OC，OA₁所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

由题意可知，A₁A=A₁C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴，

所以得：

则有：．（6分）设平面AA₁B的一个法向量为n=（x，y，z），则有，

令y=1，得所以．（7分）

．（9分）

因为直线A₁C与平面A₁AB所成角θ和向量n与所成锐角互余，所以．（10分）

（Ⅲ）设，（11分）

即，得

所以，得，（12分）

令OE∥平面A₁AB，得，（13分）

即﹣1+λ+2λ﹣λ=0，得，

即存在这样的点E，E为BC₁的中点．（14分）

点评：

本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角、三角函数等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力