题目内容
18.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格,销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销x(单位：元，
)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件.(Ⅰ)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数;
(Ⅱ)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数，导数的知识解决实际问题的能力.
解：(Ⅰ)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f(x)，则依题意有f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)(432+kx2).
又由已知条件，24=k·22,于是有k=6,
所以f(x)= -6x3+126x2-432x+9072,x∈［0,30］.
(Ⅱ)根据(Ⅰ)，我们有f′(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).
x | ［0，2) | 2 | (2，12) | 12 | (12，30] |
f′(x) | - | 0 | + | 0 | - |
f(x) | ↘ | 极小 | ↗ | 极大 | ↘ |
故x=12时，f(x)达到极大值，因为f(0)=9072、f(12)=11264,所以定价为30-12=18元能使一个星期的商品销售利润最大.
练习册系列答案
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（单位：元，
）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
（单位：元，
）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．