Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足条件2S_n=3（a_n-1），其中n∈N^*．
（1）求证：数列{a_n}成等比数列；
（2）设数列{b_n}满足b_n=log₃a_n． 若 c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用递推公式可得a_n=3a_n-1由可证数列{a_n}成等比数列
（2）由（1）得 c_n=a_nb_n=n.3ⁿ，利用乘公比错位相减求和即可
解答：解：（1）由题得…（2分）所以a_n=3a_n-1故有…（4分）
又，解得a₁=3，所以数列{a_n}成等比数列…（6分）
由（1）得a_n=3ⁿ，则b_n=log₃a_n=log₃3ⁿ=n…（8分）故有 c_n=a_nb_n=n3ⁿ
设T_n=1•3¹+2•3²+3•3³+…+（n-1）3^n-1+n•3ⁿ
3T_n=1•3²+2•3³+3•3⁴+…+（n-1）3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹…（10分）
则 
所以…（14分）
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，错位相减求解数列的和，这是数列求和方法的难点所在．