Question

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3(sin2A+sin2C-sin2B)tanB=4

2

sinAsinC
（1）求tan2

A+C

2

+sin2

B

2

的值；
（2）若b=2，△ABC的面积为

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理将已知条件中的角的正弦转化为该角所对的边，可求得sinB，继而可求得cosB，从而可求得tan2

A+C

2

+sin2

B

2

的值；
（2）利用三角形的面积公式与余弦定理即可求得a的值．

解答：解：（1）由正弦定理得：3（a²+c²-b²）tanB=4

2

ac，
∴

a2+c2-b2

2ac

tanB=

2 2

3

，即cosB•tanB=

2 2

3

，
∴sinB=

2 2

3

…（4分）
又△ABC为锐角三角形，
∴cosB=

1

3

．
又tan

B

2

=

sinB

1+cosB

=

2

2

，sin2

B

2

=

1-cosB

2

=

1

3

，
tan2

A+C

2

+sin2

B

2

=tan2

π-B

2

+sin2

B

2

=

1

tan2 B 2

+sin2

B

2

=2+

1

3

=

7

3

…（8分）
（2）∵S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×

2 2

3

ac=

2

，
∴ac=3（1）
又b=2，由余弦定理得：a²+c²-

2ac

3

=4，
∴a²+c²=6（2）
由（1）（2）解得：a=

3

…（12分）

点评：本题考查正弦定理与余弦定理，考查转化思想与方程思想，考查运算能力，属于中档题．