Question

（2013•滨州一模）设函数f（x）=x-

2

x

-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函数的定义域，当a=3时在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（Ⅱ）f′（x）=

x2-ax+2

x2

，令g（x）=x²-ax+2，其判别式△=a²-8，按△≤0时，△＞0时两种情况解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，△＞0时再按根与0的大小讨论，即共分三种情况进行讨论解不等式即可；

解答：解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），
当a=3时，f′（x）=1+

2

x2

-

3

x

=

x2-3x+2

x2

=

(x-1)(x-2)

x2

，
令f′（x）=0，解得x=1或x=2，
当0＜x＜1或x＞2时，f′（x）＞0，当1＜x＜2时，f′（x）＜0，
所以当x=1时f（x）取得极大值f（1）=-1，当x=2时f（x）取得极小值f（2）=1-3ln2；
（Ⅱ）f′（x）=1+

2

x2

-

a

x

=

x2-ax+2

x2

，
令g（x）=x²-ax+2，其判别式△=a²-8，
①当|a|≤2

2

时，△≤0时，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＜-2

2

时，△＞0时，g（x）=0的两根都小于0，所以在（0，+∞）上f′（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a＞2

2

时，△＞0，g（x）=0的两根为：x₁=

a- a2-8

2

，x₂=

a+ a2-8

2

，且都大于0，
当0＜x＜x₁或x＞x₂时f′（x）＞0，当x₁＜x＜x₂时f′（x）＜0，
故f（x）在（0，

a- a2-8

2

）和（

a+ a2-8

2

，+∞）上递增，在（

a- a2-8

2

，

a+ a2-8

2

）上递减，
综上，当a≤2

2

时f（x）（0，+∞）上单调递增；当a＞2

2

时，f（x）在（0，

a- a2-8

2

）和（

a+ a2-8

2

，+∞）上递增，在（

a- a2-8

2

，

a+ a2-8

2

）上递减；

点评：本题考查利用导数研究函数的极值、函数的单调性，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力．