Question

（2012•许昌三模）已知a＞0，且a≠1，函数y=a^x-1与y=log_a（x+1）的图象分别恒过定点A，B，过点A的直线l₁与过点B的直线l₂垂直相交于点Q，则点Q的轨迹方程是

x²-x+y²-y=0或（x-

1

2

）²+（y-

1

2

）²=

1

2

．

Answer 1

分析：由y=a^x-1与y=log_a（x+1）的图象分别恒过定点A，B，利用指数函数与对数函数的性质得出A和B的坐标，若过点A的直线l₁的斜率为k（k存在且不为0），利用两直线垂直时斜率的乘积为-1表示出过点B的直线l₂的斜率，进而表示出两直线方程，联立两方程，消去k，即可得到y与x的关系式；若过点A的直线l₁的斜率不存在，求出此时Q的坐标为（1，0），代入y与x的关系式满足，综上得到点Q的轨迹方程．

解答：解：由函数y=a^x-1与y=log_a（x+1）的图象分别恒过定点A，B，
可得A（1，1），B（0，0），
若过点A的直线l₁的斜率存在，设为k（k≠0），直线l₂垂直的斜率为-

1

k

，
可得直线l₁的解析式为：y-1=k（x-1），直线l₂解析式为：y=-

1

k

x，
联立两解析式，解得：

x= k2-k k2+1 y= 1-k2 k2+1

，
消去k得到x²-x+y²-y=0；
若过点A的直线l₁的斜率不存在，此时Q（1，0），代入满足x²-x+y²-y=0，
综上，点Q的轨迹方程为x²-x+y²-y=0或（x-

1

2

）²+（y-

1

2

）²=

1

2

．
故答案为：x²-x+y²-y=0或（x-

1

2

）²+（y-

1

2

）²=

1

2

点评：此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：动点的轨迹方程，对数函数与指数函数的特殊点，两直线垂直时斜率的关系，以及直线的点斜式方程，是一道综合性较强的试题．