Question

（1）已知的图象为双曲线，在双曲线的两支上分别取点P，Q，则线段PQ的最小值为    ；
（2）已知的图象为双曲线，在此双曲线的两支上分别取点P，Q，则线段PQ的最小值为    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据双曲线的性质，当直线经过双曲线的中心被双曲线截得的实轴长是线段是PQ的最小值．因此，求出双曲线的实轴所在直线为y=x，再求y=x与双曲线的交点坐标，即可得到线段PQ的最小值．
（2）类似（1）的原理，利用导数工具求出双曲线的实轴所在直线为y=（-2）x，再联解直线与双曲线方程，得到交点坐标后再用两点间的距离公式，可算出线段PQ的最小值．
解答：解：（1）∵的图象为双曲线，两条渐近线分别为x轴和y轴
∴双曲线的实轴在直线y=x上，直线y=x被双曲线截得的线段长等于PQ的最小值
联解，得交点为（1，1）和（-1，-1）
∴线段PQ的最小值为=2
（2）函数的导数为y′=+＞，
所以函数的渐近线方程为：x=0与y=x，
可得两条渐近线的角平分线与x轴所成的倾斜角为-15°，
其方程为：y=tan（-15°）x，即y=（-2）x，
因此，两条渐近线的角平分线与函数的交点为：
（，-），（-，），
因此，线段PQ的最小值为
=2-2．
故答案为：2，2-2
点评：本题给出双曲线的方程，求直线被双曲线截得线段PQ的最小值．着重考查了双曲线的性质、两点间的距离公式和运用导数研究函数的图象等知识，属于中档题．