Question

如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE，AB的中点．
（Ⅰ）证明：PQ∥平面ACD；
（Ⅱ）求AD与平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形的中位线定理PQ

∥

.

1

2

BE，又已知DC

∥

.

1

2

BE，可得PQ

∥

.

DC，再利用线面平行的判定定理即可证明；
（Ⅱ）利用线面、面面垂直的判定和性质定理得到CQ⊥平面ABE，再利用（Ⅰ）的结论可证明DP⊥平面ABE，从而得到∠DAP是所求的线面角．

解答：（Ⅰ）证明：连接DP，CQ，在△ABE中，P、Q分别是AE，AB的中点，∴PQ

∥

.

1

2

BE，又DC

∥

.

1

2

BE，
∴PQ

∥

.

DC，好
又PQ?平面ACD，DC?平面ACD，
∴PQ∥平面ACD．
（Ⅱ）解：在△ABC中，AC=BC=2，AQ=BQ，∴CQ⊥AB．
而DC⊥平面ABC，EB∥DC，
∴EB⊥平面ABC．
而EB?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面ABC，
∴CQ⊥平面ABE
由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，∴DP∥CQ．
∴DP⊥平面ABE，
∴直线AD在平面ABE内的射影是AP，
∴直线AD与平面ABE所成角是∠DAP．
在Rt△APD中，AD=

AC2+DC2

=

22+12

=

5

，
DP=CQ=2sin∠CAQ=2sin30°=1．
∴sin∠DAP=

DP

AD

=

1

5

=

5

5

．

点评：熟练掌握三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、线面与面面垂直的判定和性质定理、线面角的定义是解题的关键．