Question

17．已知函数f（x）=a（x+lnx）（a≠0），g（x）=x²．
（1）若f（x）的图象在x=1处的切线恰好也是g（x）图象的切线．
①求实数a的值；
②若方程f（x）=mx在区间$[{\frac{1}{e}，+∞}）$内有唯一实数解，求实数m的取值范围．
（2）当0＜a＜1时，求证：对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜|g（x₁）-g（x₂）|成立．

Answer 1

分析 （1）①求导数，利用f（x）的图象在x=1处的切线恰好也是g（x）图象的切线，求实数a的值；
②由x+lnx=mx，得m=1+$\frac{lnx}{x}$，设t（x）=1+$\frac{lnx}{x}$，x∈$[{\frac{1}{e}，+∞}）$，则问题等价于y=m与t（x）的图象在$[{\frac{1}{e}，+∞}）$上有唯一交点，即可求实数m的取值范围．
（2）设F（x）=f（x）-g（x），即F（x）=a（x+lnx）-x²，F（x）在[1，2]上单调递减，F′（x）=$\frac{ax+a-2{x}^{2}}{2}$≤0恒成立，即a≤$\frac{2{x}^{2}}{x+1}$在[1，2]上恒成立，即可证明结论．

解答 （1）解：①f′（x）=a（1+$\frac{1}{x}$），∴x=1，f′（x）=2a，切点为（1，a），
∴切线方程为y-a=2a（x-1），即y=2ax-a，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2ax-a}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，消去y，可得x²-2ax+a=0，△=4a²-4a=0，∴a=1；
②由x+lnx=mx，得m=1+$\frac{lnx}{x}$，
设t（x）=1+$\frac{lnx}{x}$，x∈$[{\frac{1}{e}，+∞}）$，则问题等价于y=m与t（x）的图象在$[{\frac{1}{e}，+∞}）$上有唯一交点，
∵t′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，∴（$\frac{1}{e}$，e），t′（x）＞0，函数单调递增，（e，+∞），t′（x）＜0，函数单调递减，
∵t（$\frac{1}{e}$）=1-e，t（e）=1+$\frac{1}{e}$，且x∈（e，+∞）时，t（x）＞1，
∴m∈[1-e]∪{1+$\frac{1}{e}$}；
证明：（2）不妨设1≤x₁＜x₂≤2，则f（x₁）＜f（x₂），g（x₁）＜g（x₂），
∴|f（x₁）-f（x₂）|＜|g（x₁）-g（x₂）|可化为f（x₂）-f（x₁）＜g（x₂）-g（x₁）
∴f（x₂）-g（x₂）＜f（x₁）-g（x₁）
设F（x）=f（x）-g（x），即F（x）=a（x+lnx）-x²，∴F（x）在[1，2]上单调递减，
∴F′（x）=$\frac{ax+a-2{x}^{2}}{2}$≤0恒成立，即a≤$\frac{2{x}^{2}}{x+1}$在[1，2]上恒成立，
∵$\frac{2{x}^{2}}{x+1}$=$\frac{2}{（\frac{1}{x}+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}}$≥1，∴a≤1，
从而，当0＜a＜1时，命题成立．

点评 本题考查导数知识的运用，考查多岁的几何意义，考查恒成立问题，属于中档题．