Question

（2012•房山区一模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴长为4

2

，点P（2，1）在椭圆上，平行于OP（O为坐标原点）的直线l交椭圆于A，B两点，l在y轴上的截距为m．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）设直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂，那么k₁+k₂是否为定值，若是求出该定值，若不是请说明理由．

Answer 1

分析：（I）设椭圆方程为

x2

8

+

y2

b2

=1，将点P（2，1）代入，即可求得椭圆方程；
（II）l的方程代入椭圆方程，可得一元二次方程，利用直线l与椭圆交于A、B两个不同点，即可确定m的取值范围；
（III）利用韦达定理x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4，及k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

，可得k₁+k₂=0．

解答：解：（I）由已知可知a=2

2

…（1分）
设椭圆方程为

x2

8

+

y2

b2

=1，将点P（2，1）代入解得b²=2…（3分）
∴椭圆方程为

x2

8

+

y2

2

=1                            …（4分）
（II）∵直线l平行于OP，且在y轴上的截距为m，又kop=

1

2

∴l的方程为：y=

1

2

x+m（m≠0）…（6分）
代入椭圆方程，消元可得x²+2mx+2m²-4=0  ①…（7分）
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，解得-2＜m＜2，且m≠0．
所以m的取值范围是（-2，0）∪（0，2）．…（9分）
（III）k₁+k₂=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由①得x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4．…（10分）
∵k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

∴k1+k2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4-2m2+4m-4m+4

(x1-2)(x2-2)

=0
∴k₁+k₂=0…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．