Question

学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为

x2

100

+

y2

25

=1，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M(0，

64

7

)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D（8，0）．观测点A（4，0）、B（6，0）同时跟踪航天器．
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？

Answer 1

（1）设曲线方程为y=ax2+

64

7

，
由题意可知，0=a•64+

64

7

．
∴?a=-

1

7

．
∴曲线方程为y=-

1

7

x2+

64

7

．
（2）设变轨点为C（x，y），根据题意可知

x2 100 + y2 25 =1 (1) y=- 1 7 x2+ 64 7 (2)

得4y²-7y-36=0，y=4或y=-

9

4

（不合题意，舍去）．
∴?y=4．
得x=6或x=-6（不合题意，舍去）．
∴?C点的坐标为（6，4），|AC|=2

5

，?|BC|=4．
答：当观测点A、B测得AC、BC距离分别为2

5

、?4时，应向航天器发出变轨指令．