题目内容

（2006•蚌埠二模）“神六”上天并顺利返回，让越来越多的青少年对航天技术发生了兴趣．某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验，设计方案
如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为
x2
100
+
y2
25
=1，变轨（航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为
对称轴、M（0，
64
7
）为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D（8，0），观测点A（4，0）、B（6，0）同时跟踪航天器．试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为
2
5
、4
2
5
、4
时航天器发出变轨指令．
分析：由题意及图形可知变轨点C实质为两圆锥曲线的交点，利用待定系数法可以先设出方程，再利用条件建立未知数的方程进而求解，从而可得结论．
解答：解：设曲线方程为y=ax2+
64
7
，由题意可知，0=a•64+
64
7
．
∴a=-
1
7
，
∴曲线方程为y=-
1
7
x2+
64
7
．
设变轨点为C（x，y），根据题意可知，抛物线方程与椭圆方程联立，
可得4y2-7y-36=0，y=4或y=-
9
4
（不合题意，舍去）．
∴y=4．
∴x=6或x=-6（不合题意，舍去）．
∴C点的坐标为（6，4），|AC|=2
5
，|BC|=4．
故答案为：2
5
、4．
点评：本题考查了抛物线的定义及其标准方程，考查待定系数法求解方程的思想，考查了两方程的交点求解的方法应该把两个方程进行联立求解的方法，属于中档题．
练习册系列答案
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内一点，
HC1
=（2m，-2m，-m）（m＜0）．
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（2）求BC1与平面EDB所成的角；
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（2006•蚌埠二模）m、n∈R，
a
、
b
、
c
是共起点的向量，
a
、
b
不共线，
c
=m
a
+n
b
，则
a
、
b
、
c
的终点共线的充分必要条件是（　　）
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2
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2
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C
2m+1
4n-7
f（x）-
C
2n+9
4m+1
g（x）．
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π
3
对称的是（　　）

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