Question

如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中点.如图2，将△ABE沿AE折起，使二面角BAEC成直二面角，连结BC，BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点.

           

图1                                图2

(1)求证：AE⊥BD；

(2)求证：平面PEF⊥平面AECD；

 (3)判断DE能否垂直于平面ABC,并说明理由.

Answer 1

(1)证明：连结BD，取AE中点M，连结BM,DM.

∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中点,

∴△ABE与△ADE都是等边三角形.∴BM⊥AE,DM⊥AE.

∵BM∩DM=M,BM,DM?平面BDM,

∴AE⊥平面BDM.

∵BD平面BDM,∴AE⊥BD.

(2)证明：连结CM交EF于点N，连结PN,

∵ME∥FC，且ME=FC,∴四边形MECF是平行四边形.

∴N是线段CM的中点.

∵P是线段BC的中点,∴PN∥BM.

∵BM⊥平面AECD,∴PN⊥平面AECD.

又∵PN平面PEF,∴平面PEF⊥平面AECD.

(3)解:DE与平面ABC不垂直.

证明：假设DE⊥平面ABC，则DE⊥AB,

∴BM⊥平面AECD.∴BM⊥DE.

∵AB∩BM=B，AB,BM平面ABE,∴DE⊥平面ABE.

∴DE⊥AE，这与∠AED=60°矛盾.

∴DE与平面ABC不垂直.