Question

各项均为正数的数列{a_n}的前n项和s_n，函数f(x)=

1

2

px2-(p+q)x+qlnx．（其中p，q均为常数，且p＞q＞0），当x=a₁时，函数f（x）取得极小值，点（a_n，2s_n）（n∈N^*）均在函数y=2px²-

q

x

+f′（x）+q的图象上（其中f′（x）是函数f（x）的导函数）．
（1）求a₁的值
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）进行求导，令其导数为0求得x，进而根据x变化时f'（x）和f（x）的变化情况确定函数f（x）的极小值．求得a₁．
（2）依题意可知y=2px2-

q

x

+f'（x）+q=2px²+px-p，进而把点（a_n，2s_n）代入求得2S_n=2a_n²+a_n-1，进而利用a_n=s_n-s_n-1，求得数列的递推式，整理求得a_n-a_n-1-

1

2

=0推断出数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得a_n．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=px-（p+q）+

q

x

=

(x-1)(px-q)

x

令f'（x）=0，得x=1或x=

q

p

，
∵0＜

q

p

＜1
当x变化时，f'（x）和f（x）的变化情况如下表：

所以f（x）处取得极小值，即a₁=1．
（2）依题意，y=2px2-

q

x

+f'（x）+q=2px²+px-p，2S_n=2p•a_n²+p•a_n-p，
所以2a₁=2pa₁²+pa₁-p，由a₁=1求得p=1
∴2S_n=2a_n²+a_n-1
当n≥2时，2S_n-1=2a_n-1²+a_n-1-1
两式相减求得（a_n+a_n+1）（a_n-a_n-1-

1

2

）=0，
∵a_n+a_n+1＞0，∴a_n-a_n-1-

1

2

=0
∴数列{a_n}是以1为首项，

1

2

为公差的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×

1

2

=

n+1

2

点评：本题主要考查了数列与函数的综合，涉及了函数的导数求极值，数列递推式求通项公式等．考查了考试综合分析问题和解决问题的能力．