Question

各项均为正数的数列{a_n}中，a₁=1，S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N^﹡，有2S_n=2p

a

2 n

+pa_n-p（p∈R）．
（1）求常数p的值；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用a₁=1及n=1即可得出．
（2）利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可得出．

解答：解：（1）由a₁=1及2S_n=2p

a

2 n

+pa_n-p（n∈N^*）．
得：2=2P+P-P，∴p=1．
（II）由2Sn=2

a

2 n

+an-1      ①
得2Sn+1=2

a

2 n+1

+an+1-1         ②
由②-①，得  2an+1=2(

a

2 n+1

-

a

2 n

)+（a_n+1-a_n），
∴（a_n+1+a_n）（2a_n+1-2a_n-1）=0，
由于数列{a_n}各项均为正数，2a_n+1-2a_n=1，即an+1-an=

1

2

，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为

1

2

的等差数列，
∴数列{a_n}的通项公式是a_n=1+（n-1）×

1

2

=

n+1

2

，
∴Sn=an2+

an-1

2

=

n(n+3)

4

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，属于中档题．