Question

甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0，1]上随机等可能地抽取一个实数记为b，乙从区间[0，1]上随机等可能地抽取一个实数记为c（b，c可以相等），若关于x的方程x²+2bx+c=0有实根，则甲获胜，否则乙获胜．
（Ⅰ）求一场比赛中甲获胜的概率；
（Ⅱ）设n场比赛中，甲恰好获胜k场的概率为P_n^k（k≤n，k∈N，n∈N^*），求

n

k=0

k

n

P

k n

的值．

Answer 1

分析：（1）由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是边长为1的正方形的面积，满足条件的事件是方程x²+2bx+c=0有实根的充要条件，写出变量满足的关系式，用积分求出面积，做比值得到结果．
（2）由题意知本题符合独立重复试验的条件，根据独立重复试验的公式写出概率，表示出和式，问题转换为二项式定理的应用，根据组合数把式子变形，提出公因式，逆用二项式定理，得到结果．

解答：解：（1）由题意知本题是一个几何概型，
试验发生包含的事件是边长为1的正方形的面积，
满足条件的事件是方程x²+2bx+c=0有实根的充要条件是△=4b²-4c≥0，即b²≥c
由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为P1=

∫ 1 0 b2db

1

=

1

3

b³|₀¹=

1

3

（2）∵由题意知本题符合独立重复检验的条件，
∴n场比赛中甲恰好获胜k场的概率为P_n^k=

C

k n

(

1

3

)k(

2

3

)n-k
∴

n

k=0

k

n

P

k n

=

C

0 n

0

n

(

1

3

)0 (

2

3

)n+

C

1 n

1

n

(

1

3

)1(

2

3

)n-1+…+

C

r n

r

n

(

1

3

)r(

2

3

)n-r+…+

C

n n

n

n

(

1

3

)n
又

C

r n

r

n

=

n!

r!(n-r)!

•

r

n

=C_n-1^r-1，
∴

n

k=0

k

n

P

k n

=

C

0 n-1

(

1

3

)1(

2

3

)n-1+

C

1 n-1

 (

1

3

)2(

2

3

)n-2+…+

C

n-1 n-1

(

1

3

)n(

2

3

)0
=

1

3

[

C

0 n

(

1

3

)0(

2

3

)n-1+

C

1 n-1

(

1

3

)1(

2

3

)n-2+…

C

n-1 n-1

(

1

3

)n-1(

2

3

)0]
=

1

3

(

1

3

+

2

3

)n-1=

1

3

点评：这是一个中档题，培养运用从具体到抽象、从特殊到一般的分析问题的能力，充分体现数学的化归思想．启发诱导的同时，训练了学生观察和概括归纳的能力．