Question

【题目】已知数列{an}满足a1=1，an+1+an= ﹣ ，n∈N* ．
（Ⅰ）求a2 ， a3 ， a4；
（Ⅱ）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意a1=1，a2+a1= ，a3+a2= ﹣1，a4+a3=2﹣
解得：a2= ﹣1，a3= ﹣ ，a4=2﹣
（Ⅱ）猜想：对任意的n∈N*，an= ﹣ ，
当n=1时，由a1=1= ﹣ ，猜想成立．
假设当n=k （k∈N*）时，猜想成立，即
ak= ﹣
则由ak+1+ak= ﹣ ，得ak+1= ﹣ ，
即当n=k+1时，猜想成立，
由①、②可知，对任意的n∈N*，猜想成立，
即数列{an}的通项公式为an= ﹣
【解析】（Ⅰ）由数列{an}的递推公式依次求出a2 ， a3 ， a4；（Ⅱ）根据a2 ， a3 ， a4值的结构特点猜想{an}的通项公式，再用数学归纳法①验证n=1成立，②假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立
【考点精析】关于本题考查的数列的通项公式和数学归纳法的定义，需要了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式；数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法才能得出正确答案．