Question

（2012•安徽模拟）已知f(x)=2si

n

2

x+2sinxcosx．
（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）通过二倍角的正弦函数与余弦函数以及两角和的正弦函数化简函数的表达式，然后求解f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）根据x∈[0，

π

2

]，求f（x）的相位的范围，利用正弦函数的最值求解函数f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（1）f(x)=2si

n

2

x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=1+

2

sin（2x-

π

4

）
所以f（x）的最小正周期为π，
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
解得kπ+

3π

8

≤x≤kπ+

7π

8

，k∈Z，
所以函数的单调递减区间[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

]，k∈Z；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，-

π

4

≤2x-

π

4

≤

3π

4

，
当x=

3π

8

时，f（x）取得最大值

2

+1，
当x=0时f（x）的最小值为0．

点评：本题考查二倍角的正弦函数与余弦函数，两角和的正弦函数的应用，正弦函数的最值的求法，考查计算能力．