Question

已知函数f（x）=x³+ax²-2x+5在(-

2

3

，1)上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，且函数f（x）的导数记为f'（x），则下列结论正确的是______．（填序号）
①-

2

3

是方程f'（x）=0的根；②1是方程f'（x）=0的根；③有极小值f（1）；④有极大值f(-

2

3

)； ⑤a=-

1

2

．

Answer 1

∵f′（x）=3x²+2ax-2
由函数f（x）=x³+ax²-2x+5在(-

2

3

，1)上单调递减，在（1，+∞）上单调递增
可知f′（1）=0即2a+1=0
∴a=-

1

2

∴f(x)=x3-

1

2

x2-2x+5，f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）
①x=-

2

3

是方程的根，正确
②x=1是方程的根，正确
③由函数f（x）=x³+ax²-2x+5在(-

2

3

，1)上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，可知x=1是函数的极小值，③正确
④令f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）＞0，可得x＞1或x＜-

2

3

f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）＜0可得，-

2

3

＜x＜1
则函数f（x）=x³+ax²-2x+5在(-

2

3

，1)上单调递减，在（1，+∞），(-∞，-

2

3

)上单调递增，故x=-

2

3

为函数的极大值，④正确
⑤正确
故答案为：①②③④⑤