Question

15．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*，都有S_n=n²+n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{2}{（n+2）{a}_{n}}（n∈{N}^{*}）$，数列{b_n}的前n项和为T_n，证明：T_n＜$\frac{3}{4}（n∈{N}^{*}）$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用数列的通项和求和的关系：当n=1时，a₁=S₁，当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，计算即可得到所求通项；
（Ⅱ）求得b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），由裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=2；
当n＞1时，由S_n=n²+n，可得S_n-1=（n-1）²+n-1=n2-n，
两式相减，可得a_n=S_n-S_n-1=2n，
综上可得a_n=2n；
（Ⅱ）b_n=$\frac{2}{2n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
前n项和为T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$），
由于$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）＞0，
则T_n＜$\frac{3}{4}$成立．

点评 本题考查数列的通项和求和的关系，考查数列的求和方法：裂项相消求和，注意保留和消掉的项，属于中档题．