Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n=a_n-1•3^n-1（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}的前n项和Sn=log3(

an

9n

)(n∈N*)．
（I）求数列{b_n}的通项公式；
（II）求数列{|b_n|}的前n项和．

Answer 1

分析：（I）对a_n=a_n-1•3^n-1（n≥2，∈N^*_）两边取以3为底的对数得log₃a_n=log₃a_n-1+（n-1），用累加法求出log3an=

n(n-1)

2

，从而Sn=

n2-5n

2

(n∈N*)，再根据数列中项与和的关系求出b_n=n-3．
（Ⅱ）利用等差数列的判定、求和公式进行计算，注意分类讨论．

解答：解：（I）∵log₃a_n=log₃a_n-1•3^n-1，两边取以3为底的对数得log₃a_n=log₃a_n-1+（n-1）移向得log₃a_n-log₃a_n-1=n-1，
log₃a₂-log₃a₁=1，
log₃a₃-log₃a₂=2，
…
log₃a_n-log₃a_n-1=n-1，
以上各式相加得（n≥2）
log3an-log3a1=1+2+…+(n-1)=

n(n-1)

2

，log3an=

n(n-1)

2

，且对n=1时也成立．
∴Sn=log3(

an

9n

)=

n2-5n

2

(n∈N*)
∴b₁=S₁=-2，
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=n-3，且对n=1时也成立
∴数列{b_n}的通项公式b_n=n-3（n∈N^*）．
（II）设数列{|b_n|}的前n项和为T_n，当bn=n-30≤0即n≤3时，Tn=-(b1+b2+…+bn)=-S  n=

5n-n2

2

；n＞3时，Tn=-(a1+a2+a3)+(a4+a5+…+an)=Sn-2S3=

n2-5n+12

2

点评：本题考查数列通项公式求解，数列求和，考查了累加法、对数的运算，分类讨论的思想方法．