Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，点P（1，f（1））在函数y=f（x）的图象上，过P点的切线方程为y=3x+1．
（1）若y=f（x）在x=-2时有极值，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下是否存在实数m，使得不等式f（x）≥m在区间[-2，1]上恒成立，若存在，试求出m的最大值，若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用y=f（x）在x=-2时有极值，可得f′（-2）=0的根，利用切线方程为y=3x+1及点P既在函数y=f（x）的图象上，又在切线y=3x+1上，可建立方程，即可求得f（x）的解析式；
（2）确定函数的极值与函数在区间的两个端点值，比较极值与端点的函数值，求得函数在区间[-2，1]上的最小值，即可求得m的最大值．

解答：解：（1）求导函数，可得f′（x）=3x²+2ax+b
∵y=f（x）在x=-2时有极值，∴x=-2是方程f′（x）=3x²+2ax+b=0的根，∴14-4a+b=0①
又切线的斜率，即f′（x）在x=1时的值，∴3+2a+b=3②
∵点P既在函数y=f（x）的图象上，又在切线y=3x+1上，∴f（1）=4=1+a+b+c③，
①②③解得a=2，b=-4，c=5，
故f（x）=x³+2x²-4x+5
（2）在（1）的条件下，f（x）=x³+2x²-4x+5
由f′（x）=3x²+4x-4=0得函数的两个极值点是x=-2，x=

2

3

．
函数的两个极值为f(-2)=13，f(

2

3

)=

95

27

函数在区间的两个端点值分别为f（-2）=13，f（1）=4．
比较极值与端点的函数值，知在区间[-2，1]上，函数f（x）的最小值为

95

27

．
不等式f（x）≥m在区间[-2，1]上恒成立，只需m≤

95

27

，不等式f（x）≥m恒成立．
此时m的最大值为

95

27

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查极值、切线的斜率，考查函数的最值，解题的关键是正确运用导数，确定函数的最值，从而解决恒成立问题．