Question

已知函数f（x）=

x2+2x+a

x

，x∈（0，+∞）．
（1）当a=

1

2

时，求函数f（x）的最小值；
（2）若对于任意的x∈（0，+∞），f（x）＞6恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把a=

1

2

代入函数式，展开后利用基本不等式可求得最小值；
（2）对于任意的x∈（0，+∞），f（x）＞6恒成立，等价于x²-4x+a＞0恒成立，转化为求x²-4x+a的最小值即可；

解答：解：（1）当a=

1

2

时，f（x）=

x2+2x+ 1 2

x

=x+

1

2x

+2≥2

x• 1 2x

+2=

2

+2，
当且仅当x=

1

2x

即x=

2

2

时取等号，
所以函数f（x）的最小值为

2

+2；
（2）当x∈（0，+∞）时，f（x）＞6即

x2+2x+a

x

＞6，亦即x²-4x+a＞0恒成立，
而x²-4x+a=（x-2）²+a-4≥a-4，
所以问题等价于a-4＞0，解得a＞4，
所以实数a的取值范围是a＞4．

点评：本题考查函数恒成立问题、基本不等式求函数的最值，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．