Question

如图，已知平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面是菱形且∠C₁CB＝∠C₁CD＝∠BCD＝60°．

(1)证明：C₁C⊥BD；

(2)假定CD＝2，CC₁＝，记面C₁BD为α，面CBD为β，求二面角α－BD－β的平面角的余弦值；

(3)当的值为多少时，可使A₁C⊥面C₁BD？

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：连结A1C1、AC，AC和BD交于点O，连结C1O， 　　∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC＝CD 　　又∵∠BCC1＝∠DCC1，C1C是公共边，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B＝C1D 　　∵DO＝OB，∴C1O⊥BD，但AC⊥BD，AC∩C1O＝O 　　∴BD⊥平面AC1，又C1C平面AC1，∴C1C⊥BD． 　　(2)解：由(1)知AC⊥BD，C1O⊥BD， 　　∴∠C1OC是二面角α－BD－β的平面角． 　　在△C1BC中，BC＝2，C1C＝，∠BCC1＝60°， 　　∴C1B2＝22＋()2－2×2××cos60°＝． 　　∵∠OCB＝30°，∴OB＝，BC＝1，C1O＝，即C1O＝C1C． 　　作C1H⊥OC，垂足为H，则H是OC中点且OH＝，∴cosC1OC＝ 　　(3)解：由(1)知BD⊥平面AC1，∵A1O平面AC1，∴BD⊥A1C，当＝1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理可证BC1⊥A1C，又∵BD∩BC1＝B，∴A1C⊥平面C1BD．