Question

11．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\sqrt{5}-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2$\sqrt{5}$sinθ．
（1）求圆C圆心的极坐标；
（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，$\sqrt{5}$），求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析 （1）由⊙C的方程ρ=2$\sqrt{5}$sinθ可得：ρ²=2$\sqrt{5}$ρsinθ，利用极坐标化为直角坐标的公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出．
（2）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\sqrt{5}-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入⊙C的方程得到关于t的一元二次方程，即可得到根与系数的关系，根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|即可得出．

解答 解：（1）由⊙C的方程ρ=2$\sqrt{5}$sinθ可得：ρ²=2$\sqrt{5}$ρsinθ，化为${x}^{2}+{y}^{2}-2\sqrt{5}y=0$，
圆心坐标为（0，$\sqrt{5}$），极坐标为（$\sqrt{5}$，$\frac{π}{2}$）；
（2）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\sqrt{5}-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入⊙C的方程
化为t²-3$\sqrt{2}$t+4=0．
∴t₁+t₂=3$\sqrt{2}$，t₁t₂=4．∴t₁＞0，t₂＞0．
根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的几何意义、直线与圆的位置关系等基础知识与基本技能方法，属于中档题．