题目内容
设M点是圆C：x2+（y-4）2=4上的动点，过点M作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，切线MA，MB分别交x轴于D，E两点．是否存在点M，使得线段DE被圆C在点M处的切线平分？若存在，求出点M的纵坐标；若不存在，说明理由．
分析：设存在点M（x0，y0）满足条件，设过点M且与圆O相切的直线方程为：y-y0=k（x-x0）通过点到直线的距离公式，求出直线MA，MB的斜率分别为k1，k2的关系，通过圆C在点M处的切线方程，求出切线与x轴的交点坐标，D，E的坐标，然后利用斜率关系式求出点M的纵坐标．
解答：解：设存在点M（x0，y0）满足条件
设过点M且与圆O相切的直线方程为：y-y0=k（x-x0）
则由题意得，
=1，化简得：(x02-1)k2-2x0y0k+y02-1=0
设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，则k1+k2=
，k1k2=
圆C在点M处的切线方程为y-y0=
(x-x0)
令y=0，得切线与x轴的交点坐标为(
+x0，0)
又得D，E的坐标分别为(
+x0，0)，(
+x0，0)
由题意知，2(
+x0)=
+x0+
+x0
用韦达定理代入可得，
=
，与x02+(y0-4)2=4联立，
得y0=
设过点M且与圆O相切的直线方程为：y-y0=k（x-x0）
则由题意得，
| |-kx0+y0| | ||
|
设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，则k1+k2=
| 2x0y0 |
| x02-1 |
| y02-1 |
| x02-1 |
圆C在点M处的切线方程为y-y0=
| -x0 |
| y0-4 |
令y=0，得切线与x轴的交点坐标为(
| y02-4y0 |
| x0 |
又得D，E的坐标分别为(
| -y0 |
| k1 |
| -y0 |
| k2 |
由题意知，2(
| y02-4y0 |
| x0 |
| -y0 |
| k1 |
| -y0 |
| k2 |
用韦达定理代入可得，
| y 0-4 |
| x0 |
| -x0y0 |
| y02-1 |
得y0=
13+
| ||
| 8 |
点评：本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，圆的切线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力．
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