Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）对函数求导，根据导函数与0的关系写出函数的单调性和区间，讨论所给的区间和求出的单调区间之间的关系，在不同条件下做出函数的最值．
（2）根据两个函数的不等关系恒成立，先求出两个函数的最值，利用最值思想解决，主要看两个函数的最大值和最小值之间的关系，得到结果．
（3）要证明不等式成立，问题等价于证明，由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是，构造新函数，得到结论．
解答：解：（1）f'（x）=lnx+1，当，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
①，t无解；
②，即时，；
③，即时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）_min=f（t）=tlnt；
∴．
（2）2xlnx≥-x²+ax-3，则，
设，则，
x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）单调递减，x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）_min=h（1）=4
因为对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，所以a≤h（x）_min=4；
（3）问题等价于证明，
由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是，当且仅当时取到
设，则，易得，
当且仅当x=1时取到，从而对一切x∈（0，+∞），都有成立．
点评：不同考查利用导数研究函数的最值，利用最值解决函数的恒成立思想，不同解题的关键是构造新函数，利用新函数的性质解决问题．